
32) Euclide. Il teorema di Pitagora.
La dimostrazione che segue del cosiddetto teorema di Pitagora
costituisce la proposizione 47 del primo libro degli Elementi di
Euclide. L'attribuzione del teorema proprio a Pitagora era dubbia
anche nell'antichit. In ogni caso, la conoscenza intuitiva e
sperimentale del teorema si trova certamente nelle matematiche
orientali preelleniche. Originale, invece,  sicuramente la
dimostrazione di Euclide, basata sulla teoria dell'equivalenza

Euclide, Elementi, I, 47 (vedi manuale pagine 155-156).

1   Nei triangoli rettangoli il quadrato dell'angolo opposto
all'angolo retto  uguale alla somma dei quadrati dei lati che
comprendono l'angolo retto.
2   Sia ABC un triangolo rettangolo avente l'angolo BAC retto;
dico che il quadrato di BC  uguale alla somma dei quadrati di BA,
AC.
3   Infatti, si descrivano il quadrato BDEC su BC e su BA, AC i
quadrati GB, HC, per A si conduca AL parallela all'una o all'altra
indifferentemente delle rette BD, CE, e si traccino le
congiungenti AD, FC. Ora, poich ciascuno dei due angoli BAC, BAG
 retto, le due rette AC, AG, che giacciono da parti opposte
rispetto alla retta BA, formano con essa e con i vertici nel punto
A, angoli adiacenti la cui somma  uguale a due retti; quindi CA 
in linea retta con AG. Per la stessa ragione pure BA  in linea
retta con AH. E poich l'angolo DBC  uguale all'angolo FBA -
difatti ciascuno dei due  retto -, si aggiunga in comune ad essi
l'angolo ABC; tutto quanto l'angolo DBA  quindi uguale a tutto
l'angolo FBC. Ora, poich DB  uguale a BC e FB a BA, i due lati
DB, BA sono uguali rispettivamente ai due lati FB, BC; e l'angolo
DBA  uguale all'angolo FBC, per cui la base AD  uguale alla base
FC, e il triangolo ABD  uguale al triangolo FBC. Ma il
parallelogrammo BL  il doppio del triangolo ABD - essi hanno
infatti la stessa base BD e sono compresi fra le stesse parallele
BD, AL, mentre il quadrato GB  il doppio del triangolo FBG:
difatti essi hanno, di nuovo, la stessa base FB e sono compresi
fra le stesse rette parallele FB, GC. [Ma doppi di cose uguali
sono uguali fra loro];  quindi uguale anche il parallelogrammo BL
al quadrato GB. Similmente, tracciate le congiungenti AE BK si
potr constatare, si potr dimostrare che il parallelogrammo CL 
uguale al quadrato HC; tutto quanto il quadrato BDEC  perci
uguale alla somma dei due quadrati GB, HC. E il quadrato BDEC 
descritto su BC, mentre i quadrati GB, HC sono descritti su BA,
AC. Quindi il quadrato del lato BC  uguale alla somma dei
quadrati dei lati BA, AC.
4   Dunque, nei triangoli rettangoli il quadrato dell'angolo
opposto all'angolo retto  uguale alla somma dei quadrati dei lati
che comprendono l'angolo retto - C.D.D


 (Euclide, Gli elementi, UTET, Torino, 1970, pagine 146-149).

